pi

American Mathematical Society.
Figuren illustrerer forholdet mellom sirkelens omkrets og verdien av pi.

Π π (pi) er en gresk bokstav som svarer til vår bokstav p.

I matematikken betegner π forholdet mellom omkretsen og diameteren av en sirkel. Omkretsen av en sirkel er altså π ganger så lang som diameteren av den samme sirkelen.

Dette kan skrives som O = π·d, der O er omkretsen og d er diameteren til sirkelen, eller som O = 2π·r, der r er radiusen.

Videre er arealet av en sirkel gitt som A = π·r2

Beregning av π

Tilnærmet er π lik 3,141 592 653 589. Ved hjelp av datamaskiner er π blitt beregnet med flere billiarder desimaler. Alt tidlig klarte man å finne tilnærmelsesverdier for π. Arkhimedes beregnet grensene \(3\frac{10}{71}<\pi<3\frac{1}{7}\) ved hjelp av inn- og omskrevne polygoner (mangekanter).

Tallet π forekommer i mange forbindelser i matematikken, og man har funnet mange uendelige uttrykk og rekkeutviklinger for π. Ved å bruke et endelig antall av leddene i en slik rekke finner man en tilnærming til π. Med flere ledd får man en bedre tilnærming, altså flere korrekte desimaler. En av de mest kjente er Leibniz' formel \(\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\dots\).

Historikk

Betegnelsen π omtales første gang i en engelsk lærebok av W. Jones (1706), men den kom først i alminnelig bruk gjennom Leonhard Eulers verker.

Johann H. Lambert påviste i 1766 at π er et irrasjonalt tall, og Carl Louis Ferdinand Lindemann beviste i 1882 at π er et transcendent tall, det vil si at det ikke er rot i noen algebraisk ligning med rasjonale koeffisienter. Av dette følger at problemet med sirkelens kvadratur er uløselig. Det betyr at det er umulig å konstruere (med passer og linjal) et kvadrat med samme areal som arealet av en gitt sirkel.

Kommentarer

Kommentaren din publiseres her. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg