lorentztransformasjoner

Lorentztransformasjoner er ligningene i den spesielle relativitetsteorien, som forbinder koordinatene i to referansesystemer som har konstant fart i forhold til hverandre.

Likningene ble ble først oppstilt av den hollandske fysikeren Hendrik Antoon Lorentz, men deres relativistiske tolkning ble gitt av Albert Einstein da han presenterte den spesielle relativitetsteorien i 1905. Einstein postulerte at all rettlinjet bevegelse med konstant fart er relativ (det spesielle relativitetsprinsippet) og at lyshastigheten som måles av en observatør, er uavhengig av observatørens hastighet i forhold til lyskilden. Ut fra disse to prinsippene utledet han lorentztransformasjonen.

Beskrivelse

Galileitransformasjoner

Tenk deg et tog som passerer en perrong. Toget og perrongen representerer referansesystemer som beveger seg i forhold til hverandre. Det er plassert lengdestaver og klokker både langs perrongen og på toget. Lengdestavene som er på toget, viser koordinatene x' og t', og de som er på perrongen, viser koordinatene x og t. Vi kaller (x,t) og (x',t') medbevegende koordinater på perrongen og i toget. Toget beveger seg i positiv x-retning med en fart v i forhold til perrongen. I newtonsk fysikk går klokkene på toget og perrongen likt, og posisjonen av et fast punkt på toget i forhold til perrongen er x=vt. Dette svarer til galileitransformasjonen x=x'+vt', t=t'.

Observasjoner av lyshastigheten

Observasjoner av dobbeltstjerner der synslinjen ligger i baneplanet, viste at lyset fra stjernen som beveger seg vekk fra oss, har samme hastighet, c, som lyset fra stjernen som beveger seg mot oss. Ifølge relativitetsprinsippet skulle det være tillatt å betrakte det slik at en stjerne er i ro og jorda beveger seg. Men da sier galileitransformasjonen at vi skulle måle en hastighet cv når stjernen beveger seg vekk fra jorda og c+v når stjernen beveger seg mot jorda. Siden målingene viste samme hastighet c, ble konklusjonen basert på galileitransformasjonen at relativitetsprinsippet ikke gjelder for lys. Einstein kom til samme konklusjon ved å betrakte andre eksempler.

Relativistiske galileitransformasjoner

Dette var ikke akseptabelt for Einstein. Han mente at relativitetsprinsippet må gjelde for alle fenomener, også lys. Da kunne ikke galileitransformasjonen være korrekt. Den måtte generaliseres. Det er den relativistiske generaliseringen av galileitransformasjonen som kalles lorentztranformasjonen.

Matematisk form

Loretztransformasjonen har formen: \[x = γ(x'+vt'),\] \[y = y',\] \[z = z',\] \[γ = (1–v^2/c^2)^{–1/2}\]

Vi kan finne den ikke-relativistiske grensen ved å la \(c \rightarrow \infty\). Da blir den relativistiske faktoren γ = 1, og det siste leddet i uttrykket for t blir 0, som viser at i denne grensen reduseres lorentztransformasjonen til galileitransformasjonen x = x'+ vt', t = t'.

Relativistisk kinematikk

Den relativistiske kinematikken (bevegelseslæren) tar utgangspunkt i lorentztransformasjonene, og gir opphav til mange relativistiske effekter:

  1. Hvis en stav har lengde L0 når den er i ro, vil den ha lengde L = L0(1–v2/c2)1/2 når den observeres å bevege seg med hastighet v i sin lengderetning. Dette kalles lorentzkontraksjonen eller lengdekontraksjonen.
  2. Hvis en klokke tikker med en periode t når den er i ro, vil den tikke med en periode t/(1–v2/c2)1/2 når den observeres med en hastighet v. Klokken går langsommere desto raskere den beveger seg. Dette kalles den relativistiske tidforlengelsen.
  3. Dersom et signal eller et legeme beveger seg med hastighet u' i f.eks. et tog som går med hastighet v i samme retning, vil legemets hastighet i forhold til en person på perrongen være \(u = \frac{u'+v}{1+\frac{u'v}{c^2}}\).

Dette er den relativistiske formelen for hastighetsaddisjon. Hvis vi lar \( c \rightarrow \infty\) får vi den vanlige (galileiske) ligningen u = u'+v. Dersom et lyssignal sendes fremover på toget, er u' = c. Da gir den galileiske formelen u = 2c, mens den relativistiske gir u = c. Man kan ikke oppnå en hastighet større enn lyshastigheten ved å addere hastigheter mindre enn eller lik lyshastigheten.

Eksperimenter

Den relativistiske kinematikken er bekreftet i flere eksperimenter. For eksempel er den relativistiske tidforlengelsen målt med stor nøyaktighet ved å observere levetiden til ustabile elementærpartikler, myoner, som dannes øverst i atmosfæren, og beveger seg ned til jordoverflaten.

Les mer i Store norske leksikon

Kommentarer

Kommentaren din publiseres her. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg