En uendelig tallfølge a1, a2, ... sies å konvergere mot et tall g hvis tallfølgen nærmer seg g som sin grense. Hvis en slik grense g eksisterer, sies tallfølgen å være konvergent, i motsatt fall er den divergent. Tallene an i følgen kan være reelle eller komplekse. En uendelig rekke b1 + b2 + ... sies å være konvergent hvis følgen sn = b1 + b2 + ... + bn konvergerer mot en grense s, rekkens sum. En rekke sies å være absolutt konvergent hvis rekken av tallverdier (absolutte verdier) |b1| + |b2| + ... konvergerer.

Det finnes forskjellige regler, såkalte konvergenskriterier, til undersøkelse av en rekkes konvergens. Hvis en rekke konvergerer, må for eksempel leddene bn nærme seg null som sin grense, men denne betingelsen er ikke tilstrekkelig for konvergens. Den harmoniske rekken 1 + ½ + 1/3 + ... er for eksempel ikke konvergent, selv om leddene nærmer seg null.

Blant de enkleste konvergenskriterier kan nevnes Jean Le Rond d'Alemberts: En rekke er konvergent hvis \[\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| < r < 1\] for et fast tall r og tilstrekkelig store n. En rekke er også konvergent hvis leddene går mot null med avvekslende fortegn (en slik rekke sies å være alternerende).

I funksjonsteorien studeres ofte rekkeutviklinger av formen R = a1f1(x) + a2f2(x) + ... hvor fi (x) er visse funksjoner. De verdier av x som rekken konvergerer for, kalles dens konvergensområde. For en potensrekke a0 + a1x + a2x2 + ... er konvergensområdet i det komplekse plan alltid en sirkel; radien i sirkelen kalles rekkens konvergensradius.

Lignende konvergensundersøkelser som dem som er nevnt her for uendelige summer, kan gjennomføres for andre uendelige prosesser, for eksempel uendelige produkter.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål om artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.