komplett - matematikk

Komplett er eit viktig omgrep for metrikkrom i matematikken. Eit metrikkrom er komplett viss kvar følgje i rommet slik at avstanden mellom to leddene går mot null, konvergerer.

La \(X\) vera eit metrikkrom med metrikk \(d\) og la \((x_{n})_{n}\) vera ei følgje med element frå \(X\). \((x_{n})_{n}\) er ei cauchyfølgje viss avstanden mellom ledda i \((x_{n})_{n}\) går mot null. Altså viss

\[\lim_{n,m\to\infty}d(x_{n},x_{m}) = 0,\]

som inneber at for kvart tal \(\varepsilon > 0\) finst det eit positivt heiltal \(N\) slik at for alle heiltal \(n,m\ge N\) er \(d(x_{n},x_{m}) < \varepsilon\). \((x_{n})_{n}\) er konvergent viss det finst ein \(x\in X\) slik at

\[\lim_{n\to\infty}d(x,x_{n}).\]

Viss alle cauchyfølgjer i \(X\) konvergerer, seier me at rommet \(X\) med metrikken \(d\) er komplett.

Eksempel

Viss \(X\) er eit vektorrom med norm \(\|-\|\), er \(d(x,y) = \|x – y\|\) ein metrikk på \(X\). Viss denne metrikken er komplett, er \(X\) eit banachrom.

Spesielt er dei reelle tala \(\mathbb{R}\) med metrikken frå absoluttverdinormen og dei komplekse tala \(\mathbb{C}\) under metrikken frå normen \(\|x + iy\| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\), eksempel på komplette metrikkrom.

Ikkje-eksempel

I motsetning til \(\mathbb{R}\) og \(\mathbb{C}\), er dei rasjonale tala \(\mathbb{Q}\) med metrikken frå absoluttverdinormen ikkje eit komplett metrikkrom. Me kan prove dette med å finne ei cauchyfølgje i \(\mathbb{Q}\) som ikkje konvergerer.

Talet \(\pi\) er ikkje eit rasjonalt tal. Men det er mogleg å prova at den uendelege summen

\[4\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^{n}}{2n+1} = 4\left(1 – \frac{1}{3} + \frac{1}{5} – \ldots\right),\]

som består av rasjonale tal, konvergerer mot \(\pi\). Med andre ord, viss me skriv

\[S_{N} = 4\sum^{N}_{n=0}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}\]

for kvart positivt heiltal \(N\), veit me at

\[\lim_{N\to\infty}S_{N} = \pi\]

og dermed at \((S_{N})_{N}\) er ei cauchyfølgje i \(\mathbb{R}\). Det er openbert at kvart tal \(S_{N}\) er eit rasjonalt tal, så \((S_{N})_{N}\) er også ei cauchyfølgje i \(\mathbb{Q}\). Derimot er ikkje \(\pi\) eit rasjonalt tal, så \((S_{N})_{N}\) konvergerer ikkje i \(\mathbb{Q}\). Me konkluderer at \(\mathbb{Q}\) ikkje er eit komplett metrikkrom.

Kommentarer

Kommentaren din publiseres her. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg