Komplett er i matematikken eit viktig omgrep for metrikkrom. Eit slikt rom er komplett viss kvar følgje i rommet som er slik at avstanden mellom ledda går mot null, konvergerer.

Matematisk definisjon

La \(X\) vera eit metrikkrom med metrikk \(d\), og la \((x_{n})_{n}\) vera ei følgje med element frå \(X\). \((x_{n})_{n}\) er ei cauchyfølgje viss avstanden mellom ledda i \((x_{n})_{n}\) går mot null. Altså viss

\[\lim_{n,m\to\infty}d(x_{n},x_{m}) = 0\]

Dette inneber at for kvart tal \(\varepsilon > 0\) finst det eit positivt heiltal \(N\) slik at for alle heiltal \(n,m\ge N\) er \(d(x_{n},x_{m}) < \varepsilon\). \((x_{n})_{n}\) er konvergent viss det finst ein \(x\in X\) slik at

\[\lim_{n\to\infty}d(x,x_{n})\]

Viss alle cauchyfølgjer i \(X\) konvergerer, seier me at rommet \(X\) med metrikken \(d\) er komplett.

Eksempel på komplette rom

Viss \(X\) er eit vektorrom med norm \(\|-\|\), er \(d(x,y) = \|x – y\|\) ein metrikk på \(X\). Viss denne metrikken er komplett, er \(X\) eit banachrom.

To eksempel på komplette metrikkrom er dei reelle tala \(\mathbb{R}\) med metrikken frå absoluttverdinormen og dei komplekse tala \(\mathbb{C}\) med metrikken frå normen \(\|x + iy\| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\).

Eksempel på ikkje-komplette rom

Dei rasjonale tala \(\mathbb{Q}\) med metrikken frå absoluttverdinormen er ikkje eit komplett metrikkrom. Me kan prove dette med å finne ei cauchyfølgje i \(\mathbb{Q}\) som ikkje konvergerer.

Talet \(\pi\) er ikkje eit rasjonalt tal. Men det er mogleg å prova at den uendelege summen

\[4\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^{n}}{2n+1} = 4\left(1 – \frac{1}{3} + \frac{1}{5} – \ldots\right)\]

som består av rasjonale tal, konvergerer mot \(\pi\). Med andre ord, viss me skriv

\[S_{N} = 4\sum^{N}_{n=0}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}\]

for kvart positivt heiltal \(N\), veit me at

\[\lim_{N\to\infty}S_{N} = \pi\]

og dermed at \((S_{N})_{N}\) er ei cauchyfølgje i \(\mathbb{R}\). Det er openbert at kvart tal \(S_{N}\) er eit rasjonalt tal, så \((S_{N})_{N}\) er også ei cauchyfølgje i \(\mathbb{Q}\). Derimot er ikkje \(\pi\) eit rasjonalt tal, så \((S_{N})_{N}\) konvergerer ikkje i \(\mathbb{Q}\). Derforer \(\mathbb{Q}\) ikkje eit komplett metrikkrom.

Les mer i Store norske leksikon

Kommentarar

Kommentarar til artikkelen blir synleg for alle. Ikkje skriv inn sensitive opplysningar, for eksempel helseopplysningar. Fagansvarleg eller redaktør svarar når dei kan. Det kan ta tid før du får svar.

Du må være logga inn for å kommentere.

eller registrer deg