. begrenset

Kjedebrøk, en spesiell brøk av formen \[[a_0,a_1,\dots,a_n] = a_0 + \cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\dots \\ \dots + \cfrac{1}{a_n}}}\] Tallene a0, a1, a2 osv. kalles partialnevnerne eller delkvotientene til kjedebrøken. Man kan bestemme utviklingen av et tall a i kjedebrøk, ved å skrive a = a0 + r hvor a0 er et helt tall og r et positivt tall mellom 0 og 1. På samme måte skrives 1/r = a1 + r1 osv. Partialnevnerne i kjedebrøkutviklingen til et rasjonalt tall a/b kan også finnes fra kvotientene i den evklidiske algoritme for a og b.

En kjedebrøk kan være endelig eller uendelig. Ethvert rasjonalt tall har en endelig kjedebrøkutvikling, mens irrasjonale tall har uendelige kjedebrøker. En periodisk kjedebrøk (en kjedebrøk der partialnevnerne danner et mønster som gjentar seg) fremstiller et tall av formen der a, b og c er rasjonale. For eksempel er \(a+b\sqrt{c}\). Hvis kjedebrøk-utviklingen avbrytes etter et visst antall ledd, oppstår en tilnærmelsesbrøk. Disse brøker har den viktige egenskap at de gir en best mulig tilnærmelse til det tall som er utviklet i kjedebrøken, i den forstand at ingen andre brøker med mindre nevnere kan gi en bedre tilnærmelse. F.eks. er kjedebrøk-utviklingen av π lik π = [3, 7, 15, 1, 292, 1,...] og de tilsvarende tilnærmelsesbrøker er \(3,3\frac{1}{7},3\frac{15}{106},3\frac{16}{113},\dots\). På grunn av denne og andre egenskaper blir kjedebrøker i stor utstrekning brukt ved tilnærmede beregninger. Innenfor tallteorien blir kjedebrøker brukt til å bestemme heltallige løsninger av ubestemte ligninger av første og annen grad. Innen funksjonsteorien anvendes kjedebrøker til fremstilling av forskjellige funksjoner.

Kjedebrøklignende metoder forekom i gresk og indisk matematikk. Lord Brouncker (1659) gav det første viktige bidrag til kjedebrøk i den nyere tid gjennom en kjedebrøk-formel for 4/π. Teorien for kjedebrøk ble siden utviklet av L. Euler, A.-M. Legendre, J. L. Lagrange og C. G. J. Jacobi.

\[\frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1 + \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\dots}}}\]

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål til artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.