Kjedebrøk er innen matematikk en spesiell brøk som har formen \[[a_0, a_1, \dots, a_n] = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \dots \\ \dots + \cfrac{1}{a_n}}}\]

Tallene \(a_0, a_1, a_2\) og så videre kalles partialnevnerne eller delkvotientene til kjedebrøken. Man kan bestemme utviklingen av et tall a i kjedebrøk, ved å skrive \(a = a_0 + r\), hvor \(a_0\) er et heltall og \(r\) er et positivt tall mellom 0 og 1. På samme måte skrives \(\frac{1}{r} = a_1 + r_1\) og så videre. Partialnevnerne i kjedebrøkutviklingen til et rasjonalt tall \(\frac{a}{b}\) kan også finnes fra kvotientene i den evklidiske algoritme for a og b.

Typer

Endelig og uendelig kjedebrøk

En kjedebrøk kan være endelig eller uendelig. Ethvert rasjonalt tall har en endelig kjedebrøkutvikling, mens irrasjonale tall har uendelige kjedebrøker.

Periodisk kjedebrøk

En periodisk kjedebrøk er en kjedebrøk der partialnevnerne danner et mønster som gjentar seg. En periodisk kjedebrøk fremstiller et tall av formen \(a + b \sqrt{c}\) der a, b og c er rasjonale. For eksempel er

\[\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \dots}}}\]

Tilnærmelsesbrøk

Hvis kjedebrøk-utviklingen avbrytes etter et visst antall ledd, oppstår en tilnærmelsesbrøk. Disse brøkene har den viktige egenskapen at de gir den best mulige tilnærmelsen til det tallet som er utviklet i kjedebrøken, i den forstand at ingen andre brøker med mindre nevnere kan gi en bedre tilnærmelse.

For eksempel er kjedebrøk-utviklingen av \(\pi\) lik \(\pi = [3, 7, 15, 1, 292, 1, \dots]\) og de tilsvarende tilnærmelsesbrøkene er \(3,3 \frac{1}{7}, 3 \frac{15}{106}, 3 \frac{16}{113}, \dots\) På grunn av denne og andre egenskaper blir kjedebrøker brukt ved tilnærmede beregninger.

Bruk

Innenfor tallteorien blir kjedebrøker brukt til å bestemme heltallige løsninger av ubestemte ligninger av første og annen grad. Innen funksjonsteorien brukes kjedebrøker til å fremstille forskjellige funksjoner.

Historikk

Kjedebrøklignende metoder forekom i gresk og indisk matematikk.

Lord Brouncker (1659) gav det første viktige bidrag til kjedebrøk i den nyere tid gjennom en kjedebrøk-formel for \(\frac{4}{\pi}\).

Teorien for kjedebrøk ble siden utviklet av Leonhard Euler, Adrien M. Legendre, Joseph L. Lagrange og Carl Gustav Jacob Jacobi.

Les mer i Store norske leksikon

Kommentarer

Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg