ideal (matematikk)

Ideal er et begrep som brukes i en del litt ulike betydninger innen matematikk.

Når et matematisk system, for eksempel en mengde av tall, punkter eller abstrakte elementer, mangler visse egenskaper, utvides gjerne systemet ved at man innfører nye, «ideale» elementer. Det å innføre irrasjonale, imaginære og hyperreelle tall, og å innføre punkter i det «uendelig fjerne» innen projektiv geometri, kan sees på som å innføre ideale elementer.

Innenfor visse systemer av «hele» tall innen algebraisk tallteori gjelder ikke lenger den vanlige entydige oppspaltningen i produkter av primfaktorer. Det var Ernst E. Kummer og Richard Dedekind som først viste hvordan en slik entydig oppspaltning kan gjenopprettes innenfor et utvidet område av «ideale tall», også kalt idealer. Siden har dette idealbegrepet fått stor betydning innen algebraisk geometri og i analyse.

Det generelle idealbegrepet har sin plass innen algebraen. Her defineres et ideal som en delmengde A av en (kommutativ) ring R som har egenskapene at

• dersom a og b hører til A, så hører alltid a + b og a − b til A
• dersom a hører til A og r er et vilkårlig element i R, så hører alltid ra til A