hypersfære

En hypersfære består av alle punkter i det \(n\)-dimensjonale reelle rommet \(\mathbb{R}^n\) som har samme avstand fra et gitt punkt. Det gitte punktet kalles hypersfærens sentrum, og den felles avstanden kalles sfærens radius. Dette begrepet generaliserer den vanlige todimensjonale sirkelen og den tredimensjonale sfæren eller kulen. Hvis det \(n\)-dimensjonale rommet har koordinatfunksjoner \(x_1,\,x_2,\dots,\,x_n\), sentrum har koordinater \(s_1,\,s_2,\dots,\,s_n\) og radius er \(r\) kan hypersfæren angis ved ligningen

\(r^2 = (x_1-s_1)^2+(x_2-s_2)^2+\dots+(x_n-s_n)^2\).

Ligningen for hypersfæren er en generalisering av Pytagoras' setning. I to dimensjoner vil vi kunne tegne en rettvinklet trekant i en sirkel på en slik måte at hypotenusen i trekanten går mellom sentrum og et punkt på selve sirkelen, og katetene er parallelle med koordinataksene. Hvis sentrum i sirkelen har koordinater \((s, t)\) vil et generelt punkt med koordinater \((x,y)\) ligge på sirkelen hvis og bare hvis

\(r^2 = (x-s)^2+(y-t)^2\).

Her er radien \(r\) lik lengden av hypotenusen. Lengden til kateten parallell med \(x\)-aksen er \(x-s\) (eller \(-(x-s)\)), og lengden til kateten parallell med \(y\)-aksen er \(y-t\) (eller \(-(y-t)\)), og Pytagoras' setning sier akkurat at denne ligningen stemmer.