En plan kurve med den egenskap at differensen mellom avstandene fra ethvert punkt P på kurven til to faste punkter F1 og F2, brennpunktene, er konstant (se figur). Denne konstante lengden kaller vi her 2a. Til høyre i figuren er r2r1 = 2a, og til venstre er r1r2 = 2a. Hyperbelen har to symmetriakser. Den ene går gjennom brennpunktene og skjærer hyperbelen i to punkter A2 og A1, som vi kaller toppunktene. Den andre aksen står vinkelrett på den første midt mellom toppunktene, i hyperbelens sentrum O.

Dersom avstanden mellom brennpunktene settes lik 2c, vil ligningen for en hyperbel i et rettvinklet koordinatsystem, hvor x-aksen går gjennom brennpunktene og y-aksen gjennom hyperbelens sentrum O, bli

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}=1\]

Det er vanlig å sette c2a2 = b2, og hyperbelens ligning blir da

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\]

I hyperbelens toppunkter er y = 0 og x = ±a. Avstanden mellom de to toppunktene A2 og A1 er altså lik den konstante lengden 2a nevnt ovenfor. Hyperbelen består av to atskilte grener som begge med voksende tallverdi av x nærmer seg to rette linjer gjennom hyperbelens sentrum, asymptotene. Ligningen for asymptotene er

\[y=\pm\frac{b}{a}x\]

Hyperbelen er et kjeglesnitt med eksentrisitet større enn 1. Eksentrisiteten e er gitt som forholdet mellom brennpunktenes avstand 2c og toppunktenes avstand 2a, dvs. \(e=\frac{c}{a}\). Eksentrisiteten bestemmer vinkelen mellom asymptotene. Hvis vinkelen er 90°, sies hyperbelen å være likesidet.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål til artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.