En tallfølge (se følge) a1, a2, ..., an, ... sies å nærme seg en grense hvis det eksisterer et tall a slik at det til ethvert positivt tall ε, uansett hvor lite, kan finnes en indeks n0 som gjør at |an−a|<ε for alle n>n0; med andre ord skal differensen an−a (i tallverdi) bli vilkårlig liten når bare n gjøres tilstrekkelig stor. Man kaller da a for tallfølgens grenseverdi og skriver \[a = \lim_{n \to \infty} a_n\]

Her er lim forkortelse for lat. limes, 'grense', og tegnet ∞ betyr uendelig. Selve prosessen å finne grenseverdien kalles en grenseovergang eller en grenseprosess.

Tallfølgen sies å være konvergent hvis det eksisterer en grense, i motsatt fall sies den å være divergent. Eksempler:

A) Tallfølgen 1/2, 2/3, 3/4, ..., n/n+1, ... er konvergent med grenseverdien 1.

B) Tallfølgen 1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n, ... er konvergent med grenseverdien 0.

C) Tallfølgen 1, 2, 3, ..., n, ... er divergent.

D) Tallfølgen +1, −1, +1, −1, ... er divergent.

Egenskapene ved grenseoverganger studeres i den matematiske analyse. Blant de mest alminnelige grenseoverganger kan nevnes summering av uendelige rekker. En rekke a1 + a2 ... + an + ... sies å være konvergent og ha summen s dersom tallfølgen s1 = a1, s2 = a1 + a2, ... har grenseverdien s. I motsatt fall sies rekken å være divergent.

Vi kan også studere grenseoverganger for funksjoner. En (entydig) funksjon f(x) sies å ha en grense A i et punkt a hvis \[\lim_{n \to \infty} f(a_n) = A\]

For enhver tallfølge a1, a2, ... med grenseverdien a; dvs. når x nærmer seg a, skal funksjonsverdiene f(x) nærme seg A. Man skriver da \[\lim_{x \to a} f(x) = A\]

En rekke av de viktigste begreper både innen reell og kompleks analyse er definert ved slike grenseprosesser, f.eks. er den deriverte funksjon f ʹ(x) definert som grenseverdien \[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål til artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.