Fraktal. En fraktal figur har den egenskap at under forstørrelse, vil en liten del av figuren vise seg nøyaktig lik en tilsvarende del av den opprinnelige figuren.

KF-bok. begrenset

Fraktal modell av en bregne.

KF-bok. begrenset

Fraktal, geometrisk form som kjennetegnes ved stor kompleksitet og detaljrikdom, dessuten ofte en struktur som er uforandret når målestokken endres. Som eksempler på fysiske objekter med fraktale trekk kan nevnes turbulente strømningsmønstre i væsker, den geometriske strukturen til et tre, eller til systemer av blodårer og nervebaner i mennesker; videre landskaper, kystlinjer og fordeling av masse i universet.

Matematisk er en fraktal mengde karakterisert ved at mengdens såkalte Hausdorff-dimensjon (etter F. Hausdorff) ikke er et helt tall (dimensjonen er fraksjonell; se nedenfor). En fraktal figur vil ofte oppvise selvreproduksjon, dvs. at under forstørrelse vil en enkelt liten del av figuren vise seg nøyaktig lik en tilsvarende del av den opprinnelige figuren.

De fleste fraktale mengder er bestemt ved hjelp av enkle formler, hvor bildet fremkommer ved uendelig repetisjon av samme regel. Koch-kurven (etter den svenske matematikeren Helge von Koch) er en god illustrasjon på hvordan fraktale kurver kan konstrueres. Det midtre stykket av et rett linjestykke erstattes av to like lange stykker, som plasseres som vist på figuren. Når samme prosedyre gjentas på alle fire linjestykkene, får man en kurve som består av 16 linjestykker. Koch-kurven dannes når dette gjentas uendelig mange ganger. Et annet eksempel på et fraktalt objekt er den såkalte Sierpinski-trekanten.

Koch-kurven har noen merkelige egenskaper; f.eks er lengden mellom to vilkårlige punkter på kurven uendelig stor. Den fyller mer enn en glatt kurve i planet. Mens en glatt kurve har dimensjon 1, og en flate har dimensjon 2, har Koch-kurven en dimensjon mellom 1 og 2, altså en fraksjonell dimensjon. Dette har gitt opphav til betegnelsen 'fraktal' på slike objekter. Ordet skyldes for øvrig B. Mandelbrot (1977), som også har gitt navn til den såkalte Mandelbrot-mengden. Han studerte funksjonen \(f(z)=z^2+c\) i det komplekse plan. Ved iterasjon kan man følge banen til et enkelt punkt \(z\). Dvs. man betrakter følgen \(z, f(z), f(f(z), ..., f^n(z), ...\) der \( f^{n}=f(f^{n-1}(z)\). Mandelbrot-mengden består nøyaktig av de punkter \(c\) i planet slik at følgen \( \{ f^{n}(z)\} \) er begrenset, dvs. ikke vokser ubegrenset når \( n\) vokser. Mandelbrots idé var at fraktalene kan beskrive forhold som ikke dekkes av den klassiske geometri, og at de derfor kan hjelpe oss til å forstå slike ting som planters form, skydannelser og galakser.

Lengden mellom to punkter på en fraktal kurve avhenger av skalaen som den observeres med. F.eks. er lengden av norskekysten mellom Oslo og Trondheim mye større hvis man kan måle detaljer ned til en meters størrelse, enn om den minste avstanden man kan måle, er en kilometer. Med uendelig fin oppløsning øker kurvens lengde mellom to punkter mot uendelig. Den fraktale dimensjon til en typisk kystlinje er 1.2, mens typiske landskaper har fraktal dimensjon på ca. 2.1.

Det matematiske grunnlaget for studiet av fraktaler, eller fraktal geometri, ble lagt av Peano, Fatou og Julia for nærmere 100 år siden, men det er først ved hjelp av moderne datamaskiner at det har vært mulig å danne seg presise bilder av fraktaler.

Fraktaler brukes i datagrafikk til å systematisere informasjonen som ligger i naturlige geometriske mønstre, slik at meget naturtro bilder kan skapes. Ved hjelp av fraktale modeller av kompliserte naturfenomener (f.eks. en bregne, se figur) håper man å finne frem til karakteristiske trekk som kan gi ny forståelse både av mikroskopiske og makroskopiske fenomener, og av universets utvikling.

Den største matematiske betydning av fraktaler er knyttet til såkalte dynamiske systemer. I sin enkleste form er slike systemer bestemt av en enkel funksjon f som i eksempelet ovenfor. Kjemiske, biologiske og fysiske prosesser kan ofte beskrives ved dynamiske systemer. Av spesiell betydning er da likevektstilstandene for systemet. Det viser seg at disse ofte beskrives ved en fraktal mengde. Dette har forbindelse til moderne kaosteori. Studiene av dynamiske systemer har bidratt til å kaste nytt lys over fenomener som strømningsmønstre i væsker og gasser, krystalldannelser, elektrolytisk utfelling og ulike former for faseoverganger.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål til artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.