fourierrekker

Fourierrekker er matematiske rekker der leddene inneholder sinus- og cosinusfunksjoner. En fourierrekke kan skrives på formen

Faktaboks

Uttale
furjˈe-
Etymologi

etter Joseph Fourier

Også kjent som
trigonometriske rekker, Fourier-rekker

½A0 + A1 cos x + A2 cos 2x + ... + B1 sin x + B2 sin 2x + ...

Navnet skyldes at Joseph Fourier brukte rekkene som grunnlag for beregninger av varmeledning.

Anvendelse

Innen harmonisk analyse brukes fourierrekker til å uttrykke sammensatte svingninger som en sum av enkle svingninger. Dersom \(f(x)\) beskriver et periodisk signal der \(x\) betegner tiden, viser fourierrekken hvordan signalet kan skrives som en (uendelig) sum av enkle sinus- og cosinussvingninger med kortere og kortere perioder.

Når en integrerbar funksjon \(f(x)\) med periode \(2\pi\) utvikles i en fourierrekke, har koeffisientene (fourierkonstantene) verdiene: \[A_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^{2\pi} f(x) \cos nx \, \mathrm{d}x\] \[B_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^{2\pi} f(x) \sin nx \, \mathrm{d}x\]

Et av de viktigste problemene i teorien for fourierrekker er spørsmålet om når rekkeutviklingen med disse koeffisientene virkelig konvergerer mot \(f(x)\), altså når vi kan skrive

f(x)= ½A0 + A1 cos x + A2 cos 2x + ... + B1 sin x + B2 sin 2x + ...

Spørsmålet henger sammen med integrasjonsteori (Lebesgue, Denjoy) og med teorien for summering av divergente rekker.

Kompleks form

Det er vanlig å skrive fourierrekker på kompleks form. Da blir fourierrekken \[ \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx}\] der \(e\) er Eulers konstant, \(e\approx 2,718\dots\), og \(i\) er den imaginære enhet \(\sqrt{-1}\). Fourierkoeffisientene er gitt ved \[c_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}\, \mathrm{d}x.\] Dersom fourierrekken konvergerer mot \(f\), kan vi skrive

\[ f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx}.\]

Les mer i Store norske leksikon

Kommentarer

Kommentaren din publiseres her. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg