Fourierrekker er matematiske rekker på formen

½A0 + A1 cos x + A2 cos 2x + ... + B1 sin x + B2 sin 2x + ...

Navnet skyldes at Joseph Fourier brukte rekkene som grunnlag for beregninger av varmeledning.

Innen harmonisk analyse brukes fourierrekker til å uttrykke sammensatte svingninger som en sum av enkle svingninger. Dersom \(f(x)\) beskriver et periodisk signal der \(x\) betegner tiden, viser fourierrekken hvordan signalet kan skrives som en (uendelig) sum av enkle sinus- og cosinussvingninger med kortere og kortere perioder.

Når en integrerbar funksjon \(f(x)\) med periode \(2\pi\) utvikles i en fourierrekke, har koeffisientene (fourierkonstantene) verdiene: \[A_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^{2\pi} f(x) \cos nx \, \mathrm{d}x\] \[B_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^{2\pi} f(x) \sin nx \, \mathrm{d}x\]

Et av de viktigste problemene i teorien for fourierrekker er spørsmålet om når rekkeutviklingen med disse koeffisientene virkelig konvergerer mot \(f(x)\). Spørsmålet henger sammen med integrasjonsteori (Lebesgue, Denjoy) og med teorien for summering av divergente rekker.

Det er vanlig å skrive fourierrekker på kompleks form. Da blir fourierrekken \[ \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx}\] der \(e\) er Eulers konstant, \(e\approx 2,718\dots\), og \(i\) er den imaginære enhet \(\sqrt{-1}\). Fourierkoeffisientene er gitt ved  \[c_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}\, \mathrm{d}x\]

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål om eller kommentarer til artikkelen?

Kommentaren din vil bli publisert under artikkelen, og fagansvarlig eller redaktør vil svare når de har mulighet.

Du må være logget inn for å kommentere.