fourierrekker

Innen harmonisk analyse brukes fourierrekker til å uttrykke sammensatte svingninger som en sum av enkle svingninger. Dersom \(f(x)\) beskriver et periodisk signal der \(x\) betegner tiden, viser fourierrekken hvordan signalet kan skrives som en (uendelig) sum av enkle sinus- og cosinussvingninger med kortere og kortere perioder.

Når en integrerbar funksjon \(f(x)\) med periode \(2\pi\) utvikles i en fourierrekke, har koeffisientene (fourierkoeffisientene) verdiene: \[A_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (nx) \, \mathrm{d}x,\] \[B_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin (nx) \, \mathrm{d}x.\]

Et av de viktigste problemene i teorien for fourierrekker er spørsmålet om når rekkeutviklingen med disse koeffisientene virkelig konvergerer mot \(f(x)\), altså når vi kan skrive \[f(x)=\frac12 A_0+\sum_{n=1}^\infty\big(A_n\cos (nx)+B_n\sin (nx) \big).\]

Spørsmålet henger sammen med integrasjonsteori (Lebesgue, Denjoy) og med teorien for summering av divergente rekker.

Det er vanlig å skrive fourierrekker på kompleks form. Da blir fourierrekken \[ \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx}\] der \(e\) er Eulers konstant, \(e\approx 2,718\dots\), og \(i\) er den imaginære enhet \(\sqrt{-1}\). Fourierkoeffisientene er gitt ved \[c_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}\, \mathrm{d}x.\] Vi har at \(c_0=A_0/2\) og \(c_n=\frac12(A_n-iB_n)\) for \(n>0\) og \(c_n=\frac12(A_n+iB_n)\) for \(n<0\). Dersom fourierrekken konvergerer mot \(f\), kan vi skrive

\[ f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx}.\]

• differensialregning
• komplekse tall
• fourieranalyse