Standard feil av Kunnskapsforlaget. Gjengitt med tillatelse

Feillære, feilteori, del av matematikken som behandler de tilfeldige feils egenskaper og setter seg som hovedoppgave å beregne den tilnærmet riktige verdi (eller verdier) av et målemateriale med tilfeldige feil.

Da våre målinger som regel ikke er fullkomne, foretar man i alminnelighet ikke bare én, men en rekke målinger for å oppnå større nøyaktighet. Disse målingene er beheftet med feil. Feilene kan først og fremst være systematiske og skyldes uriktige målemetoder, feil i måleinstrumentene, forhold ved målingen og egenskaper ved observatøren som gir uriktige avlesninger og så videre. Men selv om man tar hensyn til de systematiske feil, så varierer måleresultatene på grunn av tilfeldige årsaker som man ikke kan bli herre over og som gir feil som varierer fra én måling til den neste. De feilene som oppstår på denne måten, kalles tilfeldige.

Hvis n målinger av den samme størrelse har gitt en rekke verdier x1,x2,...,xn, antar man som den beste tilnærmelse et eller annet gjennomsnitt av disse verdiene. Oftest brukes det aritmetiske gjennomsnitt \[a = \frac{1}{n}(x_1 + x_2 + \dotsc + x_n)\] For å angi hvor stor variasjon det er i de funne målingene, innfører man sprednings- eller dispersjonsmål. Et slikt mål er for eksempel middelavviket (den gjennomsnittlige feil) \[m = \frac{1}{n}(|x_1 - a| + \dotso + |x_n - a|)\] som er gjennomsnittet av de enkelte avvik fra a tatt med positivt fortegn. Viktigere er kvadratavviket, s, (standardavviket, eng. standard deviation), definert ved \[s^2 = \frac{1}{n}((x_1 - a)^2 + \dotso + (x_n - a)^2)\] Det aritmetiske gjennomsnitt er den verdi for hvilken kvadratavviket er minst mulig.

Man kan også undersøke de tilfeldige feils fordeling nærmere, og man anvender da de generelle teorier om fordelingskurver i matematisk statistikk. Ved å gruppere feilene etter størrelsen, finner man en viss hyppighet (frekvens) av feil av en gitt størrelse, og ved grafisk fremstilling av disse frekvensene finner man den såkalte feilkurve (feilfordelingskurve) for målingene.

Om man gjør forskjellige hypoteser om de årsaker som ligger til grunn for feilene, finner man typer av teoretiske feillover eller fordelinger. Den viktigste av disse feillover er den normale (Gauss-Laplaceske) fordeling med sannsynlighetstetthet hvor α og σ er teoretiske uttrykk for gjennomsnitt og kvadratavvik. Den normale fordeling fremkommer hvis feilene oppstår på grunn av et stort antall kilder med små uavhengige virkninger. Verdiene av den normale feilkurve og dens integral finnes tabulert i statistiske tabellverk. Ved hjelp av disse tabeller kan man beregne sannsynligheten for at en feil faller innen angitte grenser.

Når flere størrelser skal beregnes av ett sett målinger, blir forholdene mer kompliserte. For det første kan de målte størrelser være avhengige av hverandre, de må tilfredsstille visse betingelser. For eksempel om man måler vinklene i en trekant, må summen være 180°. For det andre hender det at man ikke kan måle de ukjente størrelsene selv, men derimot visse uttrykk eller funksjoner av dem. Et tilfelle er at man ved måling finner beliggenheten av en rekke punkter som teoretisk skal ligge på en rett linje og man ønsker å bestemme linjens beliggenhet, det vil si dens koeffisienter. Man benytter i slike tilfeller minste kvadraters metode, en fremgangsmåte som skyldes Gauss. Siden de funne punktene som regel ikke ligger nøyaktig på en rett linje, bestemmer man en linje ved å forlange at summen av de kvadrerte avvikene mellom punktene og linjen skal være minst mulig. Dette minimumsproblem løses ved hjelp av differensialregningen, og man oppnår da et system av normalligninger, som i alminnelighet bestemmer de ukjente koeffisienter entydig.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål om artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.