elliptisk integral

Elliptisk integral er innen matematikk et integral på formen \[u(x)=\int_a^x R(t,\sqrt{P(t)})\, dt.\] Her er \(R(t,s)\) en rasjonal funksjon, og \(P\) er et polynom av grad tre eller fire der røttene (nullpunktene) alle er forskjellige. Generelt kan ikke dette integralet regnes ut som en elementær funksjon, slik man kan dersom \(P(x)\) er av første eller annen grad.

Et eksempel er \[u(x)=\int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-a^2 t^2}\sqrt{1+b^2t^2}}\] der \(a\) og \(b\) er konstanter. Dette elliptiske integralet ble studert av Niels Henrik Abel. Han innførte den omvendte (inverse) funksjonen til \(u\), som kan skrives \(f\), det vil si at \(f(u(x))=x\). Dette betyr at i stedet for å regne ut integralet for en bestemt verdi av \(x\), ønsker man å finne hvilken verdi av \(x\) som gir en bestemt verdi \(u\) for integralet. Denne funksjonen kalles \(f(u)\), og denne har overraskende egenskaper. Abel innførte de to funksjonene \(\phi(u)=\sqrt{1-a^2 f(u)^2}\) og \(\Phi(u)=\sqrt{1+b^2 f(u)^2}\), som kalles Abels elliptiske funksjoner. Han kunne bevise at disse var dobbeltperiodiske, og tilfredstilte Abels berømte addisjonsteorem.

Elliptiske integraler ble studert av blant andre Leonhard Euler og Adrien-Marie Legendre, men det var først da Niels Henrik Abel og Carl Gustav Jacob Jacobi gikk over til de omvendte funksjoner at de viktigste resultatene ble oppnådd.