det gylne snitt

Det gylne snitt. Figuren viser hvordan en linje, a, kan deles i det gylne snitts forhold. a danner den ene kateten i en rettvinklet trekant der den andre kateten er a/2. Denne lengden avsettes også på hypotenusen. Resten av hypotenusen utgjør da x av a. a–x forholder seg da til x som x til a.
.

Det gylne snitt er en måte å dele et linjestykke på slik at de to delene står i et bestemt forhold til hverandre og til helheten.

Det gylne snitt har blitt brukt som grunnlag for komposisjon av bilder og arkitektur siden antikken, og har blitt oppfattet som en vakker og harmonisk måte å dele opp en bildeflate på.

Det gylne snitt i matematikken

Det lille rektangelet til høyre, med dimensjoner a x b, er et gyllent rektangel. Når man utvider rektangelet med et kvadrat med dimensjoner a x a, får man et nytt gyllent rektangel med dimensjoner (a+b) x a.

Det gylne snitt er en oppdeling av et linjestykke i to deler slik at forholdet mellom hele linjestykket og den største delen er det samme som forholdet mellom den største delen og den minste.

Med symboler kan dette skrives slik: Dersom linjestykket har lengde a og den største delen har lengde x, får man ligningen

\(a : x = x : (a–x) \)

Dette gir

\(x=\frac{a}{2}\left(\sqrt{5}-1\right)\)

Det gylne snitt symboliseres ofte med den greske bokstaven φ (phi) og er et irrasjonalt tall med verdi

\(\varphi = {1 + \sqrt{5} \over 2}\approx\ 1,618034\)

Uttrykket gir en enkel konstruksjon av x ved hjelp av en rettvinklet trekant der katetene har lengde a og \(\frac{a}{2}\); se figuren.

Matematiske egenskaper

Forholdstallet \(\varphi=\frac{1}{2}\left(\sqrt{5}-1\right)\) har flere interessante egenskaper. Det har kjedebrøksutviklingen \[\varphi=\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\dots}}}=0,618034\dots\] (se kjedebrøk) med de beste tilnærmelsesbrøkene

\(1, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{5}{8}, \dots\)

Tallene 1, 2, 3, 5, 8, ... som forekommer her, er fibonaccitallene, der hvert tall er summen av de to foregående (se Leonardo Fibonacci).

Både selve forholdstallet \(\varphi\) i det gylne snitt og tilnærmelsesbrøkene forekommer på forskjellig måte i naturen, for eksempel ved bladstillingenplanter eller som forholdstall ved spiralene på sneglehus og så videre.

Det gylne snitt var tidlig kjent og ansett for å ha særlig betydning i den klassiske greske matematikken. Det finnes blant annet forskjellige mer eller mindre vel underbygde teorier for betydningen det gylne snitt skal ha for estetiske og kunstneriske oppgaver.

Det gylne snitt i kunsten

Det gylne snitt forekommer ofte i kunst og arkitektur. Fronten på Parthenon-tempelet på Akropolis kan innskrives i et gyllent rektangel (det ødelagte taket er tegnet inn på bildet med svart), og forholdet går igjen i en lang rekke detaljer i utformingen av tempelet, søylene og dekorasjonene.

Kunnskapsforlaget.
Lisens: fri

Det gylne snitt har vært brukt i komposisjon siden antikken, i renessansen og senere. Slike proporsjoner mente man hadde en balanse som på en naturlig måte tiltaler menneskets øye og sinn. Spesielt ble det gylne snitt rettferdiggjort av naturen selv, fordi proporsjonene kan iakttas hos planter og dyr.

Prinsippet går i hovedtrekk ut på at hvis man deler et billedutsnitt i ni like store deler ved å dele det i tre både horisontalt og vertikalt, er de gylne snittene de fire krysningspunktene for delingslinjene. Motivet bør plasseres i et av disse.

Det gylne snitt ble også mye brukt i arkitekturen, og i geometriske systemer kan man lage arkitektoniske systemer oppbygd etter visse prinsipper fra det gylne snitt og lignende konstruksjoner.

I Norge ble diskusjonen av slike geometriske systemer aktuell gjennom Fredrik Macody Lunds bok Ad quadratum (1919), hvor han søkte å bevise at Nidarosdomen i hovedtrekk er bygd etter et slikt system.

Kommentarer (2)

skrev Lars Nygaard

Eksempelet med Parthenon er uheldig, siden det er svært kontroversielt om det gylne snitt faktisk ble brukt der (og det virker lite sannsynlig). Fra renessansen av er det en rekke eksempler som er ukontroversielle.

svarte Gunn Hild Lem

Hei Lars, selv om vi ikke vet om arkitekter fra oldtiden brukte det gylne snitt bevisst, kan vi likevel finne igjen prinsippene. Så vidt jeg vet er det heller ikke noen av renessansens arkitekter som nevnte det gylne snitt. mvh Gunn Hild Lem, redaktør for kunst

Kommentaren din publiseres her. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg