En Lie-algebra, i matematikk, er en algebraisk struktur. Navnet er etter den norske matematikeren Sophus Lie som jobbet med transformasjonsgrupper i forbindelse med differensiallinginger. Hver Lie-algebra svarer til en eller flere Lie-grupper, og Lie-algebraen sees ofte på som de infinitesimale generatorene til en Lie-gruppe.

En Lie-algebra er et vektorrom g utstyrt med en kommutator-relasjon mellom to vektorer. For to vilkårlige vektorer \(X\) og \(Y\), skrives dette som regel \( [X,Y] \). Denne operasjonen er bi-lineær og skal igjen gi en vektor i g. Den oppfyller i tillegg følgende:

  1. \([X,Y]=-[Y,X]\) (antisymmetrisk).
  2. \( [X,X] = 0\).
  3. \( [[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y] = 0\) (Jacobi identiteten).

Dimensjonen til Lie-algebraen er gitt ved dimensjonen som et vektorrom. Heisenberg algebraen er eksempelvis dimensjon 3 og kan representeres ved tre basis-elementer \(x, y, z\). Heisenberg algebraen er da definert med kommutatorrelasjonene: \([x,y] = z, [y,z] = 0, [z,x] = 0\) (resten følger fra bi-lineæritet og kravene over).

Det er vanlig å klassifisere Lie-algebraene etter deres algebraiske struktur. De vanligste typene er:

  • Abelske algebraer: Her er alle kommutatorer null. 
  • Nilpotente algebraer: Eksempel, Heisenberg algebraen.
  • Løsbare (solvable) algebraer
  • semi-simple algebraer: Disse er alle klassifisert og inneholder blant annet de ortogonale, symplektiske, spesielle lineære og de eksepsjonelle algebraene.

Alle Lie-grupper har en assosiert Lie-algebra. Til en Lie-algebra er det også (minst en) Lie-gruppe. Denne relasjonen kan gjøres eksplisitt ved eksponentialavbildningen.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål om artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.