En Lie-algebra, i matematikk, er en algebraisk struktur. Navnet er etter den norske matematikeren Sophus Lie som jobbet med transformasjonsgrupper i forbindelse med differensiallinginger. Hver Lie-algebra svarer til en eller flere Lie-grupper, og Lie-algebraen sees ofte på som de infinitesimale generatorene til en Lie-gruppe.

En Lie-algebra er et vektorrom g utstyrt med en kommutator-relasjon mellom to vektorer. For to vilkårlige vektorer \(X\) og \(Y\), skrives dette som regel \( [X,Y] \). Denne operasjonen er bi-lineær og skal igjen gi en vektor i g. Den oppfyller i tillegg følgende:

  1. \([X,Y]=-[Y,X]\) (antisymmetrisk).
  2. \( [X,X] = 0\).
  3. \( [[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y] = 0\) (Jacobi identiteten).

Dimensjonen til Lie-algebraen er gitt ved dimensjonen som et vektorrom. Heisenberg algebraen er eksempelvis dimensjon 3 og kan representeres ved tre basis-elementer \(x, y, z\). Heisenberg algebraen er da definert med kommutatorrelasjonene: \([x,y] = z, [y,z] = 0, [z,x] = 0\) (resten følger fra bi-lineæritet og kravene over).

Det er vanlig å klassifisere Lie-algebraene etter deres algebraiske struktur. De vanligste typene er:

  • Abelske algebraer: Her er alle kommutatorer null. 
  • Nilpotente algebraer: Eksempel, Heisenberg algebraen.
  • Løsbare (solvable) algebraer
  • semi-simple algebraer: Disse er alle klassifisert og inneholder blant annet de ortogonale, symplektiske, spesielle lineære og de eksepsjonelle algebraene.

Alle Lie-grupper har en assosiert Lie-algebra. Til en Lie-algebra er det også (minst en) Lie-gruppe. Denne relasjonen kan gjøres eksplisitt ved eksponentialavbildningen.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål om eller kommentarer til artikkelen?

Kommentaren din vil bli publisert under artikkelen, og fagansvarlig eller redaktør vil svare når de har mulighet.

Du må være logget inn for å kommentere.