Fourier-rekker er matematiske rekker på formen

½A0 + A1 cos x + A2 cos 2x + ... + B1 sin x + B2 sin 2x + ...

Innen den harmoniske analyse brukes Fourier-rekker til å uttrykke sammensatte svingninger som en sum av enkle svingninger. Dersom \(f(x)\) beskriver et periodisk signal der \(x\) betegner tiden, viser Fourier-rekken hvordan signalet kan skrives som en (uendelig) sum av enkle sinus og cosinus svingninger med kortere og kortere perioder. 

Når en integrabel funksjon \(f(x)\) med periode \(2\pi\) utvikles i en Fourier-rekke, har koeffisientene (Fourier-konstantene) verdiene: \[A_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^{2\pi} f(x) \cos nx \, \mathrm{d}x\] \[B_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^{2\pi} f(x) \sin nx \, \mathrm{d}x\]

Et av de viktigste problemene i teorien for Fourier-rekker er spørsmålet om når rekkeutviklingen med disse koeffisientene virkelig konvergerer mot \(f(x)\). Spørsmålet henger sammen med integrasjonsteori (Lebesgue, Denjoy) og med teorien for summering av divergente rekker.

Det er vanlig å skrive Fourier-rekker på kompleks form. Da blir Fourier-rekken \[ \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx}\] der \(e\) er Eulers konstant,  \(e\approx 2,718\dots\), og \(i\) er den imaginære enhet \(\sqrt{-1}\). Fourier-koeffisientene er gitt ved  \[c_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}\, \mathrm{d}x\]

Navnet Fourier-rekker skyldes at Joseph Fourier brukte rekkene som grunnlag for varmeledning.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål om artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.