Et dynamisk system er et sett av regler som beskriver hvordan et geometrisk punkt avhenger av tiden. Typisk er dette et sett av første ordens differensialligninger, men det kan også være en diskret tidsutvikling. Et slikt system er deterministisk siden ved å vite tilstanden i et gitt tidspunkt, vil man vite fremtidens utvikling.

Et dynamisk system er beskrevet til ethvert tidspunkt som et punkt i et tilstandsrom. Det dynamiske systemet beskriver så unikt utviklingen til dette punktet. I tilfellet ved differensialligninger vil løsningene til det dynamiske systemet beskrive en kurve i dette tilstandsrommet.

Eksempler på dynamiske systemer kan finnes blant annet i newtonsk fysikk. En pendel som svinger i et gravitasjonsfelt kan beskrives ved et dynamisk system. Andre eksempler er modeller for lemenpopulasjonen i et gitt område, eller en væske som strømmer gjennom et rør.

Mange ser på Henri Poincaré som den som etablerte dynamiske systemer som gren av matematikken. Han brukte flere metoder fra dynamiske systemer på klassisk mekanikk, deriblant trelegemeproblemet, så vel på det som nå kalles Poincarés gjentagelsesteorem. Andre prominente matematikere som har jobbet med dynamiske systemer er Aleksandr Lyapunov, George David Birkhoff, Stephen Smale, og vinner av Abelprisen i 2013, Yakov G. Sinai.

Det finnes hovedsakelig to typer dynamiske systemer; de som er gitt ved en første ordens differensialligning (kontinuerlig tid), og de som er gitt ved en differensligning (diskret tid).

Disse er som regel gitt ved en første ordens differensialligning: \[ x'(t) = f(x(t), t) \] hvor \( x(t) \) er tilstanden i tilstandsrommet som funksjon av tiden, og \( f(x,t) \) er en funksjon som beskriver endringen av denne tilstanden. Løsningen til denne vil lage en kurve i tilstandsrommet.

Her er tiden diskret, og tidsutviklingen er beskrevet ved et heltall \( t=n. \) Det dynamiske systemet er da gitt ved en differensligning: \( x_{n+1}=f(x_n,t) \). Et eksempel på dette kan være utviklingen av Fibonacci's kaniner hvor neste generasjon er gitt ved summen av de to tidligere generasjonene (dette vil være et todimensjonalt dynamisk system).

Dynamiske systemer er ofte brukt som eksempler hvor kaos kan opptre. Selv om slike dynamiske systemer er deterministiske, kan kaos opptre i flere former. Et eksempel er dynamiske systemer som har en ekstrem sensitivitet i forhold til initialverdiene. Et eksempel på dette er Lorenz attraktor som er en kaotisk attraktor i et dynamisk system gitt av Edward Lorenz i 1963. Dette systemet er en forenklet tredimensjonal matematisk modell for atmosfærisk konveksjon.

Foreslå endringer i tekst

Foreslå bilder til artikkelen

Kommentarer

Har du spørsmål om artikkelen? Skriv her, så får du svar fra fagansvarlig eller redaktør.

Du må være logget inn for å kommentere.