ring (matematikk)

En ring er en mengde R (se mengdelære) hvor det er definert to operasjoner, betegnet som addisjon og multiplikasjon (selv om disse to operasjonene kan ha en helt annen betydning enn alminnelig addisjon og multiplikasjon). Mengden R må danne en kommutativ gruppe med hensyn på addisjon, og multiplikasjonen må være assosiativ (dvs. at a·(b·c) = (a·b)·c), og dessuten distributiv med hensyn på addisjon, dvs. at a·(b + c) = a·b + a·c og (b + c)·a = b·a + c·a. Hvis dessuten a·b = b·a, sier vi at R er en kommutativ ring.

Ved siden av begrepet gruppe er ring et av de viktigste begreper i den nyere utvikling av algebraen, og man finner eksempler på det over alt i matematikken. De hele positive og negative tall danner en kommutativ ring med hensyn på vanlig addisjon og multiplikasjon; mengden av alle polynomer a₀xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n med hele tall som koeffisienter danner en kommutativ ring med hensyn på addisjon og multiplikasjon av polynomer, og mengden av kontinuerlige reelle funksjoner definert på intervallet [0,1] danner en kommutativ ring når addisjon og multiplikasjon av funksjoner er definert ved at (f+g)(x) = f(x) + g(x) og (f·g)(x) = f(x)·g(x).

Hvis A er en delmengde av en kommutativ ring R slik at A selv danner en ring med hensyn på de operasjoner som er definert i R, og dessuten ra er et element i A når r hører til R og a hører til A, sier vi at A er et ideal i R. Hvis A dessuten har den egenskap at hver gang et produkt a·b hører til A (a,bR), så hører minst én av faktorene a, b til A, sier vi at A er et primideal i R. Begrepet primideal er en direkte generalisering av begrepet primtall og spiller en fundamental rolle i tallteori og algebra så vel som i store deler av geometri og analyse.