Torus.
En torus, også kjent som en donut eller smultring, er en to-dimensjonal mangfoldighet.

Mangfoldighet er i matematikken et konsept som brukes til å beskrive visse typer former og rom. Dersom man zoomer inn på et lite område, vil en mangfoldighet se helt flat ut, men når man ser på den i sin helhet, kan den ha krumning og kompliserte geometriske egenskaper.

Faktaboks

Uttale
mangfˈoldighet

Mangfoldigheter er generaliseringer av kjente matematiske konsepter som kurver og flater. For eksempel er en linje og en sirkel eksempler på én-dimensjonale mangfoldigheter, mens Jordens overflate er et eksempel på en to-dimensjonal mangfoldighet.

Historie

Parallellaksiomet

Parallellaksiomet sier at de to linjene skjærer hverandre på den siden der summen av de indre vinklene α og β er mindre enn 180 grader.

Av /Store norske leksikon ※.

Gjennom sitt hovedverk Elementer bygde Euklid opp geometrien på et rigorøst matematisk fundament. Mer spesifikt fastsatte han aksiomer og utledet teoremer for hvordan geometri i et flatt plan fungerer. I dag kalles dette euklidsk geometri. Det femte aksiomet han postulerte, parallellaksiomet, tvinger geometrien til å skje på dette flate planet, kalt det euklidske plan.

I 1733 utga Giovanni Girolamo Saccheri en artikkel der han studerte hva som skjedde dersom man antok at paralellaksiomet ikke stemte. Dette førte til det som i dag kalles ikke-euklidsk geometri. Artikkelen ble glemt, men de samme ideene ble senere uavhengig gjenoppdaget av Carl Friedrich Gauss, János Bolyai og Nikolaj Lobatsjevskij, og videreutviklet av blant annet Bernhard Riemann. De mer moderne navnene på de to typene geometri man kan få ved å fjerne parallellaksiomet er sfærisk geometri og hyperbolsk geometri.

Samtidig ble geometrien til overflater mye studert. Gauss’ theorema egregium var ett av de første resultatene som viste at man ikke trengte å tenke på en overflate som å eksistere i et tre-dimensjonalt rom, da han beviste at en overflates krumning kan regnes ut uten å bruke informasjon om dette. Det viste seg at geometrien til overflater uten noen form for krumning er euklidsk geometri, de med konstant positiv krumning er sfærisk geometri, og de med konstant negativ krumning er hyperbolsk geometri.

Den første til å bruke ordet mangfoldighet (fra tysk Mannigfaltigkeit) var Bernhard Riemann, da han definerte dem til å være samlingen av verdier en kontinuerlig varierende parameter kunne ta. Han kalte dem mangfoldigheter fordi parameteren nettopp kunne ha mange verdier. Riemann brukte dette til å lage en definisjon av n-dimensjonale mangfoldigheter, som da er samlingen av verdier n kontinuerlig varierende parametere kan ta.

Denne intuitive ideen om en mangfoldighet utviklet seg kontinuerlig til den moderne definisjonen, som generaliserer både ikke-euklidsk geometri, overflater og alle høyere-dimensjonale versjoner av disse.

Klassifisering av overflater

Kule med radius r
.
Möbiusbånd
Av .
Lisens: CC BY SA 3.0

Historisk sett har noen av de viktigste mangfoldighetene vært overflatene, som i topologien er de to-dimensjonale mangfoldighetene. Eksempler er et kuleskall, også kalt en sfære, eller overflaten til en donut (smultring), som kalles en torus. Torusen har et hull i midten, mens sfæren ikke har noe hull. Man kan også lage overflater med så mange hull man vil.

Uavhengig av hverandre fant August Ferdinand Möbius og Johann Benedict Listing en overflate som har kun én side og én sammenhengende rand. Denne er i dag kjent som Möbiusbåndet. Den kan lages ved å lime sammen en stripe med papir, der man vrir den ene siden 180 grader før man limer. Dette var det første eksempelet på en ikke-orienterbar mangfoldighet, altså en mangfoldighet som ikke har en innside og en utside.

Antall hull en overflate har, kalles overflatens genus, og det er en egenskap som ikke endrer seg når man kontinuerlig deformerer overflaten. Man kan regne ut denne ved å bruke Euler-karakteristikk eller homologi.

Möbius beviste i 1863 at dersom man begrenser seg til de orienterbare overflatene, altså de som har en definert innside og utside — slik som sfæren eller torusen — finnes det kun én overflate med en gitt genus. Dette betyr for eksempel at torusen og overflaten til en kaffekopp er den samme overflaten, ettersom de begge har kun ett hull, det vil si genus 1. Tilsvarende kan alle orienterbare overflater uten hull kontinuerlig deformeres til et kuleskall.

I sin kjente artikkel Analysis Situs lurte Henri Poincaré på om det samme var sant for tredimensjonale mangfoldigheter, altså om alle tredimensjonale mangfoldigheter med genus null kunne deformeres til den tredimensjonale sfæren. Han formodet at dette stemte, men beviste noen år senere at det fantes moteksempler. Han reformulerte formodningen sin litt, til det som nå er kjent som Poincaréformodningen. Den ble bevist av Grigori Perelman 100 år senere, i 2003.

I 1888 klassifiserte Walther von Dyck de ikke-orienterbare overflatene. Da hadde man en fullstendig forståelse av alle to-dimensjonale mangfoldigheter. Grunnet topologiens raske utvikling var dessverre disse resultatene ikke helt tilfredsstillende, og brukte ikke de moderne konseptene man brukte for å beskrive overflater. En fullstendig klassifisering av alle overflater, som tok i bruk topologiens verktøy og definisjoner, ble utgitt av Max Dehn og Poul Heegaard først i 1907.

Anvendelser

flatt og krumt rom

Universet kan i prinsippet har ulike typer geometri; det kan ha positiv krumning, negativ krumning eller være flat. Figuren viser todimensjonale mangfoldigheter med ulik krumning. Tredimensjonale mangfoldigheter kan også ha en krumning, men det er vanskeligere å visualisere.

Mangfoldigheter er veldig generelle og abstrakte objekter. Det er vanlig å legge til noen egenskaper eller ekstra struktur når man bruker dem til å studere andre fenomener. For eksempel kan man kreve at mangfoldigheten er glatt, noe som tillater at man kan definere derivasjon og integrasjon — og dermed gjøre analyse og kalkulus — på slike glatte mangfoldigheter. Dette leder til fagfeltet differensialtopologi.

Krever man i tillegg at det eksisterer en måte å måle avstand og vinkler — formelt kalt en riemannsk metrikk — får man såkalte riemannske mangfoldigheter. Disse ble blant annet ble brukt av Albert Einstein til å formalisere den generelle relativitetsteorien på en matematisk måte. Dette er en del av differensialgeometrien.

Mangfoldigheter brukes også mye i andre deler av vitenskapen, da de veldig naturlig dukker opp på grunn av sin relasjon til kontinuerlige parametre. I fysikken brukes de for eksempel til å studere differensialligninger, som er essensielle for å forstå naturen, til å studere faserom i mekanikken og til å forstå modeller av universet. Utenfor dette brukes de blant annet til å studere tilstandsrommene til roboter i kybernetikken, til å forenkle deler av maskinlæring, for eksempel via mangfoldighet-hypotesen, og i kryptografi via studiet av såkalte elliptiske kurver.

Les mer i Store norske leksikon

Kommentarer

Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg