Historisk sett har noen av de viktigste mangfoldighetene vært overflatene, som i topologien er de to-dimensjonale mangfoldighetene. Eksempler er et kuleskall, også kalt en sfære, eller overflaten til en donut (smultring), som kalles en torus. Torusen har et hull i midten, mens sfæren ikke har noe hull. Man kan også lage overflater med så mange hull man vil.
Uavhengig av hverandre fant August Ferdinand Möbius og Johann Benedict Listing en overflate som har kun én side og én sammenhengende rand. Denne er i dag kjent som Möbiusbåndet. Den kan lages ved å lime sammen en stripe med papir, der man vrir den ene siden 180 grader før man limer. Dette var det første eksempelet på en ikke-orienterbar mangfoldighet, altså en mangfoldighet som ikke har en innside og en utside.
Antall hull en overflate har, kalles overflatens genus, og det er en egenskap som ikke endrer seg når man kontinuerlig deformerer overflaten. Man kan regne ut denne ved å bruke Euler-karakteristikk eller homologi.
Möbius beviste i 1863 at dersom man begrenser seg til de orienterbare overflatene, altså de som har en definert innside og utside — slik som sfæren eller torusen — finnes det kun én overflate med en gitt genus. Dette betyr for eksempel at torusen og overflaten til en kaffekopp er den samme overflaten, ettersom de begge har kun ett hull, det vil si genus 1. Tilsvarende kan alle orienterbare overflater uten hull kontinuerlig deformeres til et kuleskall.
I sin kjente artikkel Analysis Situs lurte Henri Poincaré på om det samme var sant for tredimensjonale mangfoldigheter, altså om alle tredimensjonale mangfoldigheter med genus null kunne deformeres til den tredimensjonale sfæren. Han formodet at dette stemte, men beviste noen år senere at det fantes moteksempler. Han reformulerte formodningen sin litt, til det som nå er kjent som Poincaréformodningen. Den ble bevist av Grigori Perelman 100 år senere, i 2003.
I 1888 klassifiserte Walther von Dyck de ikke-orienterbare overflatene. Da hadde man en fullstendig forståelse av alle to-dimensjonale mangfoldigheter. Grunnet topologiens raske utvikling var dessverre disse resultatene ikke helt tilfredsstillende, og brukte ikke de moderne konseptene man brukte for å beskrive overflater. En fullstendig klassifisering av alle overflater, som tok i bruk topologiens verktøy og definisjoner, ble utgitt av Max Dehn og Poul Heegaard først i 1907.
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.