logaritme

logaritme. (mat.). Med logaritmen til et positivt tall menes (i den elementære matematikken) den potenseksponenten som et bestemt positivt tall, grunntallet, må opphøyes i for å gi det gitte tall, numerus. Er g ^x = a, så er x logaritmen til a med g som grunntall. Dette skrives x = log_g a. For eksempel er 10³ = 1000, så log₁₀ 1000 = 3 (logaritmen til 1000, med grunntall 10, er lik 3).

Logaritmer kan brukes til å lette tallregninger; logaritmen til et produkt er lik summen av faktorenes logaritmer, logaritmen til en brøk er differensen mellom tellerens og nevnerens logaritmer, logaritmen til en potens er rotens logaritme multiplisert med eksponenten, og logaritmen til en rotstørrelse er radikandens logaritme dividert med roteksponenten. Skal man beregne

ved logaritmeregning, finner man logaritmen til 456 i en logaritmetabell, dividerer logaritmen med 7, og deretter søker man i tabellen det tallet (numerus) som har den funne kvotienten til logaritme. Man reduserer med dette multiplikasjon til addisjon, divisjon til subtraksjon, potensiering til multiplikasjon og rotutdragning til divisjon. I praksis bruker man logaritmer som har 10 til grunntall, briggske logaritmer. Bruker man briggske logaritmer, skriver man nå lg a istedenfor log ₁₀ a.

Logaritmeregning og logaritmetabeller er erstattet av elektroniske regnemaskiner, men logaritmebegrepet i form av naturlige logaritmer er viktig i teoretisk matematikk. Grunntallet er her det transcendente tallet e = 2,71828.... Dette kan oppfattes som grenseverdien

eller også som summen i en uendelig rekke

Sammenhengen mellom briggske logaritmer og naturlige logaritmer er gitt ved lg a = lg e · ln a for positive tall a.

Logaritmebegrepet kan også utvides til å gjelde for komplekse og negative tall.

Logaritmefunksjonen

Logaritmefunksjonen er den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen, og skrives log_g x for positive x. Tallet g, som må være positivt og forskjellig fra 1, er grunntallet for logaritmefunksjonen. Funksjonen tilfredsstiller funksjonalligningen f(A·B) = f(A) · f(B), ettersom log_g xy = log_g x · log_g y. Sammenhengen mellom eksponentialfunksjonen a^x og logaritmefunksjonen med a som grunntall er gitt ved log_aa^x = x for alle reelle tall x, og a^log_ax = x for alle positive tall x.