Lineær algebra er et svært sentralt og grunnleggende område i moderne matematikk, med anvendelser i praktisk talt alle områder av matematikken. Lineær algebra omhandler lineære rom eller vektorrom og lineære avbildninger mellom slike rom. Vektorer og matriser er blant de mest grunnleggende begrepene innen lineær algebra.
Et vektorrom er en samling elementer – kalt vektorer – som kan adderes på en slik måte at denne samlingen av vektorer er en gruppe med hensyn på den gitte definisjonen av addisjon. Dette innebærer blant annet at vektorrommet er lukket under addisjon (summen av to elementer i vektorrommet tilhører også vektorrommet), og at det eksisterer en nullvektor. Dessuten er det definert en skalar multiplikasjon slik at man etter bestemte regler kan multiplisere en skalar (et tall) med en vektor. Hvis disse skalarene er reelle tall, sier vi at vi har et vektorrom over de reelle tall.
Reglene er formulert slik at det vanlige 3-dimensjonale rommet blir et spesialtilfelle av det generelle begrepet vektorrom. I dette spesialtilfellet kan en vektor oppfattes som et talltrippel \(x = [x_{1}, x_{2}, x_{3}]\) hvor \(x_{1}\), \(x_{2}\) og \(x_{3}\) angir koordinatene for vektorens endepunkt når denne fremstilles geometrisk med origo som utgangspunkt. Addisjonen er i dette tilfellet definert ved \(x + y = [x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2}, x_{3} + y_{3}]\), og skalarmultiplikasjonen ved \(\alpha x = [\alpha x_{1}, \alpha x_{2}, \alpha x_{3}]\) når \(x = [x_{1}, x_{2}, x_{3}]\), \(y = [y_{1}, y_{2}, y_{3}]\) og \(\alpha\) er et reelt tall.
På nøyaktig samme måte kan man definere et generelt n-dimensjonalt vektorrom hvor n er et vilkårlig, helt positivt tall. Men ulike typer av uendelig-dimensjonale vektorrom spiller også en grunnleggende rolle, spesielt innenfor analysen. Det er mange typer av slike vektorrom, for eksempel hilbertrom og banachrom. Mengden av alle reell-valuerte funksjoner over de reelle tallene er et eksempel på et uendelig-dimensjonalt vektorrom.
Generelt sier vi at en avbildning (transformasjon, funksjon) \(F\) mellom to vektorrom er lineær (er en homomorfi) dersom vi har at \(F(\alpha x + \beta y) = \alpha F(x) + \beta F(y)\) når \(x\) og \(y\) er vektorer og \(\alpha\) og \(\beta\) er reelle tall.
Lineære avbildninger i og mellom vektorrom uttrykkes ofte ved matriser, og matriseregning er en sentral del av den lineære algebraen.
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.