kontinuerlig (matematikk)

Kontinuerlig betyr vedvarende, uopphørlig eller fortløpende. Det er det motsatte av diskontinuerlig.

Kontinuerlig matematikk, i motsetning til diskret matematikk, gjør bruk av grensebetraktninger (se grense) og av reelle tall. En matematisk funksjon sies å være kontinuerlig dersom den (løst forklart) er «sammenhengende» overalt, det vil si at grafen til funksjonen danner en sammenhengende kurve.

Mer nøyaktig sies en funksjon f å være kontinuerlig i punktet a hvis vi for enhver tallfølge \( a_1, a_2, a_3, \dots\) som konvergerer mot \(a\), har at tallfølgen \( f(a_1), f(a_2), f(a_3), \dots\) konvergerer mot \(f(a)\). Dersom \(f\) er kontinuerlig i ethvert punkt der den er definert (i sitt definisjonsområde), sies funksjonen å være kontinuerlig.

Ved å bruke grenseverdier kan en formulere kontinuitet som følger: En funksjon er kontinuerlig i punktet \(x=a\) dersom \[ \lim_{x\rightarrow a} f(x)=f(a).\] Dette betyr at grenseverdien skal eksistere, \( f(a)\) er definert, og de må nødvendigvis være lik hverandre.

Begrepene kontinuitet og konvergens kan begge formuleres i en langt mer generell sammenheng enn den som er antydet her, og får da sin naturlige plass innenfor den matematiske disiplin topologi.