gruppeteori

En mengde \(G\) er en gruppe dersom

1. For alle elementer \(a,~b\) i mengden er \(a\cdot b\) også i mengden, det vil si \(a,b \in G \Rightarrow a \cdot b \in G\). Dette kravet kan formuleres som at G er lukket under operasjonen \( \cdot \)
2. For alle elementer \(a,~b,~c\) i mengden gjelder \( (a \cdot b) \cdot c = a\cdot (b \cdot c)\) (den assosiative lov).
3. Det finnes et enhetselement \(e\) i mengden, det vil si at for alle a i mengden gjelder \(a \cdot e=e \cdot a=a \).
4. Hvert element \(a\) i mengden har en invers \(a^{-1}\) i mengden slik at \(a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e\).

Dersom disse kravene er oppfylt, sies \(G\) å være en gruppe med hensyn på den gitte operasjonen. Dersom i tillegg den kommutative lov \(a\cdot b=b \cdot a\) er oppfylt for alle \(a\) og \(b\) i gruppen, sies gruppen å være abelsk (etter Niels Henrik Abel).

To eksempler på grupper er mengden av heltall med hensyn på addisjon, og mengden av rasjonale tall \(\neq 0\) med hensyn på multiplikasjon.

Et annet viktig eksempel (også rent historisk) er de symmetriske grupper, hvor elementene er permutasjoner. Disse gruppene spiller en viktig rolle i Evariste Galois' teori for løsning av algebraiske ligninger ved rottegn, som representerer et av de viktigste historiske utgangspunkter for gruppeteorien.

Lie-grupper er eksempler på kontinuerlige grupper (grupper med uendelig antall elementer). Disse gruppene brukes, blant annet i fysikk, hvor de sees på som symmetrier.

Gruppebegrepet gjennomtrenger hele den moderne matematikken og har betydelige anvendelser også i naturvitenskaper som fysikk og kjemi.

• algebra
• mengdelære