fraktal

Matematisk er en fraktal mengde karakterisert ved at mengdens såkalte Hausdorff-dimensjon (etter Felix Hausdorff) ikke er et helt tall. Dimensjonen er i denne sammenhengen fraksjonell.

De fleste fraktale mengder er bestemt ved hjelp av enkle formler. Bildet fremkommer ved uendelig repetisjon av samme regel.

Lengden mellom to punkter på en fraktal kurve avhenger av skalaen som den observeres med. For eksempel er lengden av norskekysten mellom Oslo og Trondheim mye større hvis man kan måle detaljer ned til en meters størrelse, enn om den minste avstanden man kan måle, er en kilometer. Med uendelig fin oppløsning øker kurvens lengde mellom to punkter mot uendelig. Den fraktale dimensjon til en typisk kystlinje er 1.2, mens typiske landskaper har fraktal dimensjon på om lag 2.1.

Bronkialtreet og purkinjesystemet i hjertet er eksempler på anatomiske fraktaler. Det samme gjelder blodstrømsfordeling i lungene og i hjertet. Også tidsrelaterte fenomener kan være fraktaler, for eksempel spredningsmønsteret for epidemiske sykdommer og variasjoner i hjerteslagenes intervaller. Et hjerte som slår jevnt som en metronom er mindre robust enn et med fraktalt slagmønster. Fraktale vekstmønstre er mer motstandsdyktige overfor genetiske feil.

Ordnede, men komplekse geometriske systemer kan dannes som følge av en meget enkel kode. Det trengs lite informasjonsvolum for at fraktale strukturer skal dannes. Derfor blir det færre feil i avlesningen. Fraktale strukturer danner en optimal overgang mellom romlige rørstrukturer (blodårer og luftveier) og en stor diffusjonsflate. Det kan være flere gode grunner til at det finnes så mange fraktale mønstre i levende organismer.

Fraktaler brukes i datagrafikk til å systematisere informasjonen som ligger i naturlige geometriske mønstre, slik at man kan skape svært naturtro bilder. Ved hjelp av fraktale modeller av kompliserte naturfenomener som for eksempel en bregne, håper man å finne frem til karakteristiske trekk som kan gi ny forståelse både av mikroskopiske og makroskopiske fenomener. Tilsvarende metoder brukes for å forstå universets utvikling.

Den største matematiske betydning av fraktaler er knyttet til såkalte dynamiske systemer. I sin enkleste form er slike systemer bestemt av en enkel funksjon \(f\). Kjemiske, biologiske og fysiske prosesser kan ofte beskrives ved dynamiske systemer. Av spesiell betydning er da likevektstilstandene for systemet. Det viser seg at disse ofte beskrives ved en fraktal mengde. Dette har forbindelse til moderne kaosteori. Studiene av dynamiske systemer har bidratt til å kaste nytt lys over fenomener som strømningsmønstre i væsker og gasser, krystalldannelser, elektrolytisk utfelling og ulike former for faseoverganger.

Det matematiske grunnlaget for studiet av fraktaler, eller fraktal geometri, ble lagt av Giuseppe Peano, Pierre Fatou (1878–1929) og Gaston Maurice Julia (1893–1978). Det er likevel først ved hjelp av moderne datamaskiner at det har vært mulig å danne seg presise bilder av fraktaler.

• differensialgeometri
• dynamiske systemer
• fraktal
• geometri
• matematikk