dimensjonsanalyse

La oss betrakte tilstandslikningen for idealgass, pV = nRT , der n er antall mol av en gass i en beholder med volum V, T er gassens temperatur og p dens trykk. Proporsjonalitetskonstanten R kalles gasskonstanten. Vi vil bruke dimensjonsanalyse til å bestemme gasskonstantens benevning. Prinsippet for dimensjonsanalysen er at alle leddene i en likning skal ha samme dimensjon og følgelig også samme benevning. Sagt på en annen måte: Venstre og høyre side av en likning skal ha samme benevning. Når p har benevning Pa, V har benevning m³, n har benevning mol og T har benevning K, får vi:

Pa·m³ = mol·R·K.

Dette viser at gasskonstanten R har benevningen \(\frac{\textrm{Pa} \cdot \textrm{m}^3}{\textrm{mol}\cdot \textrm{K}}\). Siden \(\textrm{Pa} = \frac{\textrm{N}}{\textrm{m}^2}\) og J = Nm, kan vi skrive om benevningen til \(\frac{\textrm{Nm}}{\textrm{mol}\cdot\textrm{K}} = \frac{\textrm{J}}{\textrm{mol}\cdot \textrm{K}}\).

Anta vi har gjort eksperimenter som viser at trykk ganger volum for en avstengt gassmengde er proporsjonal med hvor mye gass som er i en beholder og avhenger av temperaturen. Men vi har ikke greid å finne ut hvordan denne størrelsen (trykk ganger volum) avhenger av temperaturen. Det kan vi finne ut ved å bruke dimensjonsanalyse. Vi skiver da: \[pV = nRT^\alpha,\] der konstanten α skal bestemmes. Dimensjonsanalysen gir da:

\[\textrm{Pa}\cdot\textrm{m}^3 = \textrm{mol} \cdot \frac{\textrm{Pa}\cdot \textrm{m}^3}{\textrm{mol}\cdot \textrm{K}} \cdot \textrm{K}^\alpha\]

Vi dividerer nå hver av sidene med Pa·m³ og forkorter med mol som står i både teller og nevner på høyre side. Det gir \[ 1 = \frac{\textrm{K}^\alpha}{\textrm{K}}\]

Vi ser at med α = 1 blir høyre side K delt på K som er lik 1. Det viser at alfa må være lik 1.

Dermed har dimensjonsanalysen vist at størrelsen trykk ganger volum av en avstengt idealgass er proporsjonal med den absolutte temperaturen.