analytisk funksjon

Mer presist er en funksjon \(f\colon {\mathbb C}\to {\mathbb C}\) analytisk hvis følgende gjelder: For alle komplekse tall \(z_0\) er \(f(z)\) gitt ved \[f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n\] for alle \(z\) nær \(z_0\). Her er \(a_0,a_1, \dots\) komplekse tall bestemt av \[a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}, \quad n=0,1,2,\dots\] og \(f^{(n)}(z_0)\) er den \(n\)-te deriverte til \(f\) i punktet \(z_0\).

Alle polynomer \(p(z)=a_n z^n+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0\), er analytiske funksjoner. Noen andre eksempler på analytiske funksjoner er eksponentialfunksjonen \(e^z\), de trigonometriske funksjonene \(\sin(z)\) og \(cos(z)\), de hyperbolske funksjonene \(\sinh(z)\) og \(\cosh(z)\) og logaritmefunksjonen \(\log\).

For to analytiske funksjoner er summen og produktet av dem også analytiske funksjoner. Hvis en analytisk funksjon deles på en annen analytisk funksjon, vil resultatet være analytisk for alle \(z\) slik at nevneren ikke er lik null. Dermed er også tangensfunksjonen \(\tan(z)=\sin(z)/\cos(z)\) analytisk for alle verdier der cosinus ikke er lik null.

Analytiske funksjoner har en rekke overraskende egenskaper. Analytiske funksjoner er alltid deriverbare vilkårlig mange ganger. Videre gjelder Liouvilles teorem, nemlig at en analytisk og begrenset funksjon som er definert for alle komplekse tall må være konstant. I tillegg har man at om en analytisk funksjon er null, for eksempel i en kule, så er den null overalt. Mer presist gjelder at dersom man har en konvergent følge av komplekse tall \(z_n\) slik at \(f(z_n)=0\) for alle \(n\), må \(f(z)=0\) for alle \(z\).

• funksjon
• matematikk