norsk jazzmusiker, trompeter og komponist, utdannet bl.a. ved jazzlinjen ved Trøndelag Musikkonservatorium 1980–82. Han flyttet til Oslo i 1982, vakte raskt oppmerksomhet med sin Miles Davis-påvirkede stil og ble med i en kvintett ledet av Arild Andersen og Jon Christensen. Gruppen, som etter hvert fikk navnet Masqualero, stod sentralt frem til 1991, og Molvær stod frem som en av de mest spennende solister i norsk jazz. I denne perioden begynte han også å anvende ulike elektroniske virkemidler tilknyttet trompeten, noe han senere har utviklet videre.
Han spilte med Jazzpønkensemblet 1982–85 og 1991, fra 1982 i perioder med Oslo 13, og i 1980-årene også med Jon Eberson og Sidsel Endresen. I 1990-årene spilte han fast med Sidsel Endresens ulike grupper, med Jon Balke og med flere danske grupper, bl.a. med perkusjonisten Marilyn Mazur. Molvær har skrevet musikk for ballett og film, og har medvirket i en rekke ulike sammenhenger der det spilles åpen, improvisert samtidsmusikk. Han gav ut sitt første album under eget navn,Hastening Westward (med Robin Schulkowsky), i 1995, og fulgte opp med Khmer (1997, Spellemannprisen åpen klasse). På sistnevnte går jazz, rock, techno og disco opp i en høyere enhet, og albumet vakte stor oppsikt mange steder i verden. Solid Ether kom i 2000, og også den ble belønnet med en Spellemannpris. I 2002 kom np3, i 2004 live-albumet Streamer, og i 2005 Er, som innbrakte nok en Spellemannpris. Molvær ble tildelt Buddyprisen i 2003.