norsk organist, dirigent og komponist. Studerte ved Musikkonservatoriet i Oslo 1922–25 med bl.a. A. Sandvold, G. Fr. Lange og P. Steenberg, og ved konservatoriet i Leipzig 1931–32 med bl.a. K. Straube og G. Raphael. Debut i Oslo som organist 1926 og som pianist 1930. Nielsen var organist i Høvik kirke fra 1924, i Ris kirke fra 1932 og domorganist og kantor i Nidarosdomen 1935–76, dirigent for Olavskoret 1936–70, Nidaros Domkor 1946–76 og Nidarosdomens guttekor 1948–72. Lærer ved Musikkonservatoriet i Trondheim 1943–76 og formann i Trøndelag Organistforening 1946–58. Tildelt Norsk Kulturråds musikkpris 1976.
Nielsen komponerte korverker, bl.a. Exultate Deo (1943), Guds rike (1944), Te Deum (1945), Messe på Olavsdagen (1949), Fagnadarsongar (1959), Draumkvedet, liturgisk oratorium (1963), Under Kirkehvelv (1975) og Lilja (1979), dessuten konsert for orgel og strykeorkester (1965) og en rekke andre orgelverker, bl.a. 150 orgelkoraler til Norsk Koralbok.
Han utgav sammen med Rolf Karlsen orgelsamlingen Pro Organo og korsamlingen Hymnarium, og sammen med Nils Grinde læreboken Kontrapunkt etter Bach-stilen (1966).