Laplace-transformasjon

en integraltransformasjon som brukes mye i matematikk og ingeniørfag, blant annet til å løse differensialligninger. Transformasjonen har navn etter P. S. Laplace, men ble før ham brukt av Euler. Laplace-transformasjonen til en funksjon f er gitt ved

F(s)=\int_0^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt.

Den Laplace-transformerte til den deriverte av f er gitt ved sF(s) − f(0) og tilsvarende formler finnes for høyere ordens deriverte. Ved hjelp av disse formlene kan man omforme differensialligninger til algebraiske ligninger som er lettere å løse. Ved å bruke Laplace-transformasjonen baklengs kan man så finne løsningene til de opprinnelige differensialligningene. Under passende betingelser kan den inverse (baklengse) Laplace-transformasjonen skrives

f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(c+ix)e^{(c+ix)t}\, dx

for alle tilstrekkelig store, reelle tall c. Laplace-transformasjonen har også en del teoretiske anvendelser.