Fermi-Dirac-statistikk

Fermioner er partikler med halvtallig spinn, det vil si partikler med spinn ½ℏ, ³/₂ℏ og så videre, hvor ℏ er Plancks konstant h dividert med 2π. Den kvantemekaniske beskrivelsen av fermioner leder til Paulis eksklusjonsprinsipp (se pauliprinsippet) som sier at to fermioner ikke kan befinne seg i samme kvantetilstand. En statistisk beskrivelse av energifordelingen til fermioniske partikler må derfor ta hensyn til denne egenskapen.

En slik kvantemekanisk statistisk beskrivelse ble utviklet i 1926 av Enrico Fermi og Paul A. M. Dirac uavhengig av hverandre. Denne såkalte Fermi-Dirac-statistikken beskriver fordelingen av partikler i et kvantesystem sine energitilstander for enkeltpartikler. En energitilstand kan ofte deles opp i undertilstander som er karakterisert ved at hver av dem har minst ett kvantetall forskjellig fra alle de andre undertilstandene. I hver slik undertilstand kan det bare være én partikkel.

Ved lave temperaturer (nær det absolutte nullpunkt) vil partiklene fylle opp kun de laveste nivåene, mens de høyeste blir tomme. Det siste nivået som fylles, kalles ferminivået, fermiflaten. Økes temperaturen, blir partiklene tilført energi, og enkelte av dem går da fra en tilstand på eller under ferminivået til en tilstand over. Sannsynligheten for å finne en partikkel i et bestemt nivå, svarende til en energi E, er gitt ved Fermis fordelingsfunksjon:

\[\mathrm{F(E) = 1/(e^{(E-E_F)/kT}+1)}\]

hvor E_F er energien av en partikkel i ferminivået, k er Boltzmanns konstant, T er temperaturen i kelvin og e er grunntallet i det naturlige logaritmesystem. Ved svært høye temperaturer nærmer fermifordelingen seg til den klassiske Maxwell-Boltzmanns-fordeling.